Per poter dare la definizione di relazione è necessario prima ricordare alcuni concetti matematici sugli insiemi. Un dominio è un collezione di valori. esempi Un sinonimo di dominio è insieme. Il prodotto cartesiano A1×A2×...×An di n domini A1, A2, ..., An, non necessariamente distinti, è l’insieme di tutte le possibili n-uple (a1, a2, ..., an) tali che a1 appartiene all’insieme A1, a2 appartiene all’insieme A2, ..., an appartiene all’insieme An. esempi Segue la definizione di relazione: Dati n insiemi, non necessariamente disgiunti, D1, D2, ..., Dn una relazione R definita sugli insiemi D1, D2, ..., Dn è un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano D1×D2×...×Dn. esempi Gli insiemi D1, D2, ..., Dn sono detti domini della relazione. Il numero n dei domini di una relazione è detto arietà (o arità, o grado) della relazione. Gli elementi di una relazione sono detti tuple. (esempi) Ogni tupla è costituita da tanti valori quanti sono i domini della relazione (cioè quanto è l’arietà della relazione stessa). In una tupla <v1, v2, ...,vk> di una relazione di arietà k, il generico valore vi appartiene al dominio Di. Poiché una relazione è un insieme, l’ordine secondo il quale sono elencate le tuple di una relazione non ha importanza. Il numero delle tuple di una relazione è detto cardinalità della relazione. Una relazione può essere rappresentata sotto forma di tabella usando le seguenti convenzioni: ogni riga della tabella corrisponde ad un tupla della relazione; ogni colonna della tabella corrisponde ad un dominio di definizione della relazione. Di norma si associa ad ogni colonna della tabella un nome, detto attributo, che serve per descrivere il contenuto della colonna (esempi). L’attributo associato ad una colonna di una tabella è anche associato al corrispondente dominio della relazione. Un nome viene associato anche all’intera tabella; questo nome è il nome della relazione. Si noti la differenza tra attributo e dominio (vedi esempi): per una relazione R il dominio di definizione Di rappresenta tutti i possibili valori che la i-esima componente di ogni tupla di R può assumere; un attributo di una relazione R rappresenta tutti i valori che sono descritti in una stessa componente delle tuple di R. A volte, può accadere che un valore componente di una tupla di una relazione non sia per qualche motivo conosciuto. In questa situazione è ammessa la rappresentazione del valore non conosciuto con un valore speciale detto valore NULLO. L’ordine secondo il quale sono descritti gli attributi non ha importanza. Altra definizione di relazione La chiave primaria di una relazione è un sottoinsieme K degli attributi della relazione che soddisfa le seguenti proprietà: a) Proprietà della identificazione univoca: i valori descritti negli attributi della chiave primaria K identificano univocamente una tupla della relazione; quindi, due tuple diverse non possono avere gli stessi valori negli attributi di K. b) Proprietà della non ridondanza: nessun sottoinsieme di K può essere, a sua volta, una chiave primaria. Si noti che: a) una relazione è un insieme e quindi non può contenere duplicati (non possono esistere due tuple uguali tra loro) b) una relazione ha sempre almeno una chiave primaria. Le chiavi possibili di una relazione sono dette chiavi candidate. Tra queste si sceglie la chiave primaria effettiva tale che le tuple della relazione soddisfino la proprietà di integrità (gli attributi di K non devono avere valori nulli nelle tuple della relazione). Sia K un insieme di attributi di R1(X) e di R2(Y), con K chiave di R1(X). Allora K è una foreign key di R2(Y).